Des Rationnels et des Réels

Je me pose parfois des questions stupides, quand remontent à ma mémoire des vestiges de mon passé. Cette fois ce sont des restes de mathématiques qui viennent m’interroger. Voilà mon problème :

On connait les nombres entiers : N (1,2,3….)
les entiers relatifs : Z (….-3,-2,-1,0,1,2,3….)
les nombres rationnels Q (… -3,-2,-2/3…-1…-1/2..0…3/4….16/9….2,3….)
les nombres réels R (-infini…tout ce qu’on veut…..+infini)
les nombres complexes C (mais là n’est pas mon problème)

mon problème c’est le passage des rationnels aux réels. J’ai étudié avec les suites de Cauchy, mais toujours trouvé ça un peu artificiel. Alors voilà :

appelons Qr l’ensemble des rationnels de numérateur z (entier relatif) et de dénominateur r (entier aussi mais fixé à la valeur r), appelons r la résolution de Qr. La plus petite longueur mesurable avec Qr est donc 1/r, on peut appeler ça la plus petite approximation. Que se passe t’il quand r tends vers l’infini, et bien on pourrait dire que Qr tends vers R (quand on augmente la résolution on se rapproche de la réalité). Ou encore R = limite de Qr quand R tends vers l’infini (ce n’est pas mathématique).

A quoi bon tout ca ? Eh bien, je comprends mieux c’est déjà ça. Ces soi-disant nombres réels ne sont qu’une idéalisation à l’infini. Et leurs merveilleuses propriétés avec leurs fonctions continues différentiables ne sont que des propriétés idéales, à la limite. La physique, elle, semble bien nous imposer une résolution limite dans toutes les dimensions de nos perceptions. C’est idiot, mais je suis content.